高等几何（仿射，射影几何等） 对于 计算机图形学，计算机视觉等研究是非常重要的
基础知识。
我是国内工科毕业，现在美国读计算机视觉的博士。以前觉得自己的数学很好，其实只
是会考试，会计算，会一些小技巧而已。并不真懂数学。
真正使我在数学方面有了一些真切理解的，是我在深入的思考了线性代数和高等几何之
后的事情了。
其实微积分是比较简单的，而且学习的思路可以沿袭中国中学数学的学习思路。但是线
性代数（以及泛函分析）和高等几何其中蕴涵的方法，思路跟我们传统的数学内容有较
大的区别了。如果仅仅满足于会做微积分，会解题，那并不困难，但是要真正理解数学
，可能需要对线性代数和高等几何下一番功夫了。
我这里仅仅是就一个一般工程师所需要的数学素养而言的，对于特定的研究，可能还需
要有一些专门的数学知识。对于数学专业的，我觉得你有足够的时间去思考，揣摩数学
到底本质是什么了。
1
线性代数，国内的教学，以前一上来就是行列式，有很多复杂的行列式计算题目，其实
这根本不反映线性代数的根本的思想。我觉得线性代数从应用方面，应该强调解方程组
，包括矛盾方程组（最小二乘法）；在实际中最有用的是一般的矩阵（m！＝n），而不
是方阵。就数学思想方面来说，向量空间，线性空间的概念是现代数学的核心基础观念
，其重要性超过微积分。
对工程实践中大量存在的线性问题，线性代数，数值线性代数，是最重要的工具。数值
线性代数的重要性超过数值分析。
2
高等几何，主要是向大家揭示了多种不同公理体系并行存在的可能性。非欧几何对一个
人对数学的理解是非常必要的冲击。光知道欧氏几何，不知道射影几何，非欧几何，对
公理化数学的理解必然保留在一个低的水平上。希尔波特的 几何公理 一书 本身没有用 到多少高深的概念，但是其反映的是现代公理化思想。
射影几何本身在数学研究内，已经死掉了，正如，现在的数学家不会成天研究平面欧式
几何的难题一样，尽管有些初中生就能看懂的平面几何题目可能难倒不少数学家。但是
射影几何在应用上，尤其是计算机图形学上，是个基础。
基于上面的分析，我觉得一个真正希望打好数学基础的人，应该相当注意代数，几何的
继续学习，不要停留在满足于知道一个名词，会算，要真正去思考，领会这些东西的实
质。
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关于数学历史学习的一些建议
学习数学，不了解历史，很容易自卑。看着教科书上的严谨和美轮美奂，一个人很容易
怀疑自己的智力。但是当你了解了历史上数学发展过程的种种曲折之后，你就知道，其
实这些都是经过整理，包装后的结果。
历史上一些革命性的观念，多是朴素的。最初的发现者，未必就清楚的明了其发现的价
值。
而很多有价值的观念，来自于科学，工程的实践。
了解一个观念，一个理论产生，发展，修缮的历史，对于真正的理解他，对于一个人真
正进入"角色"，有极其重要的意义。
如果光是看教科书，而不看数学历史的话，就如同历史研究者光看正史，不看野史一样
，掌握的东西很可能是不完整，不全面的。
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中国高等数学教育缺陷刍议
我简单的罗列一下我的看法，具体内容尚待日后补充。
1 重计算，轻思想
2 重微积分，轻代数，几何
3 重理论严谨，轻实际应用
4 与计算机时代的要求不相衔接
5 重抽象，轻直观
按照中国高等工程数学的教学标准，笔者算一个相当好的学生，但是真正回想起来，中
国高等工程教育给我的，只是会解一些题目，掌握一些手算技巧罢了。对于真正的数学
思想，领会的不多，更不用说得心应手的予以运用了。
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我个人业余读了以下的几本书（续上篇）
我个人业余读了以下的几本书，也提出来跟大家共享一下，
1 项武义 在香港科技大学的基础数学讲义（网上可以下载电子版）， 高屋建瓴， 深入
浅出。 项以前是伯克利的数学教授 早在1980年代，项就在北大讲微积分课程，并出了
书，微积分大意
2 龚升 的 微积分五讲 台湾数学传播杂志上看的，国内据说出书了，但是还没看到 据
说同时还有一本从 module的角度讲线性代数的，也没看。龚是以院士水平讲大学基础课
3 MIT Strang G 教授的 线性代数，应用数学系列讲座， 请google "MIT 18.06" "MIT
18.085" "MIT 18.086" 有录像 我觉得Strang G 先生最大的成功就是把线性代数中最
重要的思想给突出出来了。他有一本书 linear algebra and its applications 他有一
项本事，在课上从来没有严谨的证明，但是把理论，定理都渗透在很简单的例子里面了
。他的课程跟中国国内老师的中规中矩的教学形成了鲜明的对比（指的是工科教学）。
他讲的应用数学以矩阵，线性代数为基本语言，符合现代计算数学的潮流，我觉得很值
得参考。他的应用数学书籍 一本是1986年出的，一本是2007年新出的，现在网上有三章
免费下载，这里不具体写了（有心人找的到）
例子，
以前华中理工大学 于寅 教授出过一本 现代数学基础，据说是华工博士生教材。这本书
可以当作国内工科数学教学的代表。里面除了把数学系的基本书抄录，拼凑一下以外，
基本没有考虑到工科学生的特点，当然可能作者本身也没有这个功力和阅历能写好一本
真正结合工程实际的好数学书了。
4 国内齐民友教授 出了一本 重温微积分， 这本书，我觉得对提高数学专业的人的分析
素养，很有裨益，但是对工科数学关心的人，不必太花时间了。因为个人认为分析不是
工科数学的重点。而国内在分析数学上的训练，足够你去进一步深入学习其他的东西了
。
顺带说一句，据齐先生的说法，重温微积分，是依照苏联 辛钦的 数学分析八讲 来写的
。他很多年前翻译的那本小黄书笔者是见过的，但是没有仔细研究。
我始终觉得数学的美，更多的反映在代数和几何上，分析的东西，没有太多的美在里面
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